Электрические цепи, состоящие из приемников энергии (резисторов), соединенных последовательно, параллельно или смешанно при питании их от одного источника электрической энергии (рис. 2.4—2.7), а также цепи, содержащие одни контур (рис. 1.17, 1.20), принято называть простыми цепями. При заданных ЭДС (напряжениях) источников питания и сопротивлениях токи и напряжения на всех участках простой цепи можно определить, пользуясь законом Ома и первым законом Кирхгофа (§ 2.1).

Разветвленные электрические цепн, имеющие несколько контуров с произвольным размещением потребителей и источников питания, относятся к сложным цепям, если их нельзя рассчитать, применяя только закон Ома и первый закон Кирхгофа. Методы расчета сложных цепей рассмотрены ниже.

Схему еоедииения трех ветвей, образующих замкнутый контур с тремя узлами А, Б, В (рис. 2.8, а), называют треугольником.

В некоторых случаях расчет сложной цепи значительно упрощается, если треугольник сопротивлений заменить звездой сопротивлений, т. е. тремя ветвями, имеющими дополнительный общий узел О (рис 2.8,6). В других случаях расчета цепей встречается необходимость звезду заменить треугольником. Эти взаимные замены треугольника и звезды сопротивлений должны быть эквивалентными, т. е. при соответственно равных напряжениях между вершинами А, Б и В треугольника и звезды токи I_A, I_Б, 1_В в подводящих проводах, соединяющих эти вершины с остальной частью цепи, должны остаться без изменений. Равенство токов должно выполняться при любых изменениях и переключениях в остальной части цепи и, в частности, при обрывах некоторых ее ветвей.

Рис 2.8 Соединение резисторов треугольником (а) и звездой (б)

Сопротивления эквивалентной звезды r_а, r_б, r_в находятся в определенных соотношениях с сопротивлениями треугольника r_аб, r_бв, r_ва. Для выяснения этой зависимости допустим сначала, что в вершине А произошел обрыв подводящего провода и, следовательно, ток I_а=0. Сопротивления между двумя оставшимися присоединенными вершинами Б и В для обеих схем должны быть одинаковы, чтобы были соответственно равны токи I_Б и I_в в обеих схемах. После обрыва в вершине А сопротивления r_б и r_в в звезде соединены последовательно, а в треугольнике сопротивления r_ВА и r_АБ соединенные последовательно, образуют одну ветвь с суммарным сопротивлением r_{ВА +} r_АБ, параллельно которой подключено сопротивление r_Бв. Поэтому можно написать

                               (2.14)

где принята во внимание формула расчета эквивалентного сопротивления двух параллельно включенных резисторов (2.11).

Рассуждая аналогично для случая обрыва в вершине Б, при котором ток I_Б = 0, а затем провода В, при котором ток I_в=0, получим аналогичные выражения:

(2 .15)

(2.16)

Чтобы преобразовать треугольник в звезду при заданных сопротивлениях сторон треугольника r_аб,r_бв, r_ва, требуется определить сопротивления лучей эквивалентной звезды r_а, r_б, r_в . Для этого составим полусумму левых и правых частей уравнений (2.15) и (2.16):

и вычтем из полученного выражения уменьшенные вдвое левую и правую части (2.14). В результате получим

(2.17)

Аналогично получим                                                                  

(2.18)

(2.19)

Таким образом, сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух сторон треугольника, которые присоединены к той же вершине, что и луч звезды, деленному на сумму сопротивлений, всех сторон треугольника.

Если сопротивления треугольника равны друг другу: r_аб = r_бв=r_ва=r_Δ, то будут равны друг другу и сопротив

ления звезды, т. е. r_а = r_б=r_в=r _λ, причем из формул (2.17)—(2.19) получается простое соотношение                 

                        (2.20)

При обратном преобразовании звезды в эквивалентный треугольник, т. е. при заданных сопротивлениях r_а, r_б, r_в, надо решить три уравнения (2.17)—(2 19) относительно сопротивлений r_аб, r_бв:

(2.21)

 (2.22)

 (2.23)

Таким образом, сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух лучей звезды, присоединенных к тем же вершинам, что и сторона треугольника, и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды.

Пример 2.3. Определить токи в ветвях мостовой схемы (рис. 2.9), если известны параметры цепи: E=4,4 В, r₁=20 Ом, r₂=60 Ом, r₃= 120 Ом, r₄=8 Ом, r₅=44 Ом.

               Рис 2.10. Преобразованная мос-                 Рис. 2.9. Мостовая схема 

               товая схема

Решение. Заменив один из треугольников схемы, например АБГ, образованный сопротивлениями r₁, r₂, r₃, эквивалентной звездой, сопротивление лучей которой га, r_а, r_б и r_в, получим простую схему смешанного соединения элементов (рис. 2.10).

Найдем сопротивления лучей звезды.

Эквивалентное сопротивление участка (рис. 2.10), состоящего из сопротивления r_а и двух параллельных ветвей r₄+r_би r₅+r_Г

Ток в неразветвленной части схемы (рис. 2.10)

I=E/r=4,4/22 = 0,2 А.

Тор в ветви с сопротивлениями r₄ ,r_бнаходим но формулам «разброса» общего тока (2.12):

Для определения ток&в I₁, I₂, I₃, которых нет в преобразованной схеме (рис 2.10), найдем потенциалы узлов Г и Б.

Наряжение на сопротивлении r₄

Напряжение на сопротивлении r₅

Полагая потенциал точки В равным нулю, получаем

Напряжение на диагонали моста ГБ

Переходя к схеме рис 2.9, найдем токи ветвей в преобразованной части моста.