Расчет цепи с несколькими контурами, можно выполнить, применив два закона Кирхгофа.

Если для рассматриваемой цепи заданы значения ЭДС источников (а также токов источников, если в цепи есть источники тока) и сопротивлений, то для нахождения всех токов требуется столько расчетных уравнений, сколько в цепи неизвестных токов. При этом число независимых узловых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи,

Рис 2.28. Схема разветвленной цепи.

Например, если в цепи n узлов, то нужно составить уравнения для любых (n—1) узлов. Если составить узловое уравнение и для последнего, n-го узла, то оно будет следствием уже составленных (n—I) уравнений и окажется бесполезным для расчета. Остальные уравнения должны быть контурные, т. е. составляться по второму закону Кирхгофа. Контурные уравнения рекомендуется составлять для более простых контуров с меньшим числом ветвей. Кроме того, каждый новый контур, для которого составляется очередное уравнение, должен содержать не менее одной ветви, не входившей в контуры, для которых уже составлены уравнения. Выполнение последнего условия обеспечивает независимость составленных уравнений.

Определим токи во всех ветвях цепи, схема замещения которой показана на рис. 2.22, считая заданными ЭДС и сопротивления.

Для составления узловых и контурных уравнений необходимо знать направления токов. Так как направления токов в сложной цепи до расчета неизвестны, то зададимся произвольно направлениями токов во всех ветвях цепи и будем считать эти направления положительными. Они и указаны стрелками на рис. 2.22, Токи будут алгебраическими величинами, т. е. могут принимать положительные или отрицательные значения. Если после составления уравнений и их решения получится отрицательное значение для какого-либо из токов, то этот ток в действительности проходит в направлении, противоположном выбранному и показанному на схеме.

Рассматривая цепь (рис. 2.22), имеем три узла А, В, Д (п=3), поэтому нужно составить два узловых уравнения для любых двух узлов, например для узла А

I1-Iз-I4 = 0

и для узла Д

I2 + I3-I5 = 0.

Так как число ветвей с неизвестными токами равно пяти, то нужно иметь пять независимых уравнений; следовательно, три недостающих уравнения — контурные. Для контура АБВА, который обходим в порядке расположения букв, т. е. по движению часовой стрелки, запишем

 

        

               

  Для контура АВДА

 и

  для контура ВГДВ

    

Для заданной цепи можно составить еще несколько контурных уравнений, например для контуров АБВДА, АВГДА и АВВГДА. Эти уравнения не являются независимыми, каждое из них может быть получено из ранее составленных уравнений и, следовательно, они не нужны для расчета цепи.

Если какие-либо токи ветвей известны (например, измерены), то число совместно решаемых уравнений, соответственно сокращается. Например, если известен только ток I4, то можно не составлять одно уравнение, содержащее ток I4 (первое узловое, первое или второе контурное для цепи рис. 2.22).

Правильность выполненного расчета можно проверить, составив баланс мощностей: сумма мощностей источников должна равняться сумме мощностей потребителей, что следует из закона сохранения энергии.

Для цепей сo многими ветвями необходимо совместно решить систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. В этом случае целесообразно применение ЭВМ, программное обеспечение которых дает возможность получить решение системы алгебраических уравнений.

Пример 2.6. Определить токи, применяя узловые и контурные уравнения, я составить баланс мощностей для цепи примера 2.5.

Решение: Так как у цепи два узла (а я b), то надо составить од но узловое уравнение (по первому закону Кирхгофа). Например, для узла b

I1 + I2 + I3 = 0.

Цепь имеет три ветви. По этом у нужно составить еще два независимых контурных уравнения (по второму закону Кирхгофа). Для контура с ветвями 1 и 2

 

 

Для контура с ветвями 2 и 3 (это новая ветвь)

После подстановки численных значений получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными токами I1 , I2 , I3.

Систему уравнений можно решить, например, последовательным исключением неизвестных. Подставим ток Ix=—I2— I3 из 1-го уравнения во 2-е получим синему двух уравнений:

Умножим последнее уравнение на 2 и сложим со вторым.

25=— 5I3(

откуда I3=—5 А и из последнего уравнения

— 200= lI2 + 2-5, т. е. I2 =—210 А.

Наконец, из узлового уравнения определяем ток I1=215Α. Мощность, развиваемая первым источником,

У второго источника ток I2 направлен против ЭДС (рис 2.20), но численное значение этого тока отрицательное, т. е. действительное направление тока I2 совпадает с направлением ЭДС. Поэтому и второй источник работает в режиме генератора с развиваемой мощностью:

 

Мощности преобразования электрической энергии в другие вид в приемниках:

 

Составим баланс мощностей:

Ри1и2= Р1+ Р2+ Р3

или

48 375 + 42 ООО = 46 225 +44 100 +50,

т. е.

90 375 = 90 375, что подтверждает правильность расчета токов.

Пример 2.7. На рис. 2 23 показана мостовая схема с двумя источниками ЭДС E1 = 50 В, Е5=20 В и источником тока (идеальный)

Рис 2.23 Схема к примеру

Ik = 3 А. Сопротивления ветвей r1=r3=r5 =10 Ом, r2=5 Ом, r4=20 Ом. Определить токи, выбранные положительные направления которых по казаны на рис. 2.23.

Решение. Составим узловые уравнения для трех на четыре [А, Б. В, Г) узлов схемы. Например, для узлов Б, В, Г

 

Схема содержит 5 ветвей с неизвестными токами (ток шестой ветви

с идеальным источником тока Ik задан). Следовательно, необходимо составить еще 2 контурных уравнения Для контура АГБ

 

Для контура БГВ (две новые ветви ГВ и ВБ)

 

После подстановки в контурные уравнения численных значений и их совместного решения с узловыми уравнениями определяются токи, I1 = -1 А, I2=4 А, I3=2 А, I4= -1 А, I5=2 А

Для контура АВГ нельзя составить контурное уравнение, так как ветвь с идеальным источником тока имеет бесконечно большое сопротивление (см. § 2.7)

 


Catalog-Moldova - Ranker, Statistics Rambler's Top100

Портал Электриков — Новости и комментарии из мира техники